Hirzan Arijuddin's Blog: Oktober 2015

Cara menyelsaikan matriks invers ordo 3x3

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan $\neq$ 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = $\left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end {array}\right]$

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& -2& 5 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& -1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -5& 2& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -14& 6& 3\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = $\left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

Contoh :

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = $\left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ]$ .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukanOperasi Baris Elementer

$\left [ \left.\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

baris pertama : B₁ x (1/3)

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$
baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 0& 10/3& -7/3\\ 0& 10/3& -7/3\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ -2/3& 1& 0\\ 4/3& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

^{Sebelum
menyelesaikan soal matriks, perlu diketahui bagaimana cari determinan matriks
terlebih dahulu. Berikut cara penyelesaiannya.}

^Rumus:

^{1. Determinan Matriks ordo 2x2}

^{A =}maka |A| = = ad-bc

2. Determinan Matriks ordo 3x3

A = maka |A| =

Maka |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁– a₃₃a₂₁a₁₂

_{INVERS MATRIKS}

_{1. Matriks
bujur sangkar berordo (2x2), dapat dirumuskan sebagai berikut:}

_{Jika A =}_{maka
(invers) A^-1=}

_Contoh.

_{Jika A =}_{maka
A^-1 =}

₌

_{= = (setiap elemen dikalikan 1/2)}

_{Matriks ordo 3x3, untuk mencari invers matriks ordo 3x3, perlu pemahama matriks-matriks berikut:}

Matriks Kofaktor
Adjoin
Nilai elemen
rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Keterangan :

Matriks Kofaktor adalah matriks yang unsurnya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Untuk tandanya digunakan tanda positif negatif saling bergantian.

Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris )

Oke langsung ke contoh soal berikut ini :

Carilah Invers matriks dari A diatas !!

Langkah pertama maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:

Langkah kedua, Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan , maka kita mencari ADJOIN nya =

Rabu, 14 Oktober 2015

Cara Menyelasaikan Matriks Invers Ordo 3x3

Cara menyelsaikan matriks invers ordo 3x3

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

baris kedua : B2 + (-2B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B3 + (-B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

baris ketiga : B3 + 2B2 [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

baris ketiga : B3 x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

baris kedua : B2 + 3B3 [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B1 + (-3B3) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

baris pertama : B1 + (-2B2) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A-1 =

Contoh :

Periksa apakah matriks A3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukanOperasi Baris Elementer

baris pertama : B1 x (1/3)

baris kedua : B2 + (-2B1)

baris ketiga : B3 + 4B1

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

Sebelum menyelesaikan soal matriks, perlu diketahui bagaimana cari determinan matriks terlebih dahulu. Berikut cara penyelesaiannya.

Rumus:

1. Determinan Matriks ordo 2x2

A = maka |A| = = ad-bc

2. Determinan Matriks ordo 3x3

A = maka |A| =

Maka |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

INVERS MATRIKS

1. Matriks bujur sangkar berordo (2x2), dapat dirumuskan sebagai berikut:

Jika A = maka (invers) A-1 =

Contoh.

Jika A = maka A-1 =

=

=

= = (setiap elemen dikalikan 1/2)

Matriks ordo 3x3, untuk mencari invers matriks ordo 3x3, perlu pemahama matriks-matriks berikut:

Matriks Kofaktor

Adjoin

Nilai elemen

rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Keterangan :

Matriks Kofaktor adalah matriks yang unsurnya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Untuk tandanya digunakan tanda positif negatif saling bergantian.

Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris )

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan $\neq$ 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = $\left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]$

baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = $\left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = $\left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ]$ .

baris pertama : B₁ x (1/3)

baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

^{Sebelum
menyelesaikan soal matriks, perlu diketahui bagaimana cari determinan matriks
terlebih dahulu. Berikut cara penyelesaiannya.}

^Rumus:

^{1. Determinan Matriks ordo 2x2}

^{A =}maka |A| = = ad-bc

Maka |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁– a₃₃a₂₁a₁₂

_{INVERS MATRIKS}

_{1. Matriks
bujur sangkar berordo (2x2), dapat dirumuskan sebagai berikut:}

_{Jika A =}_{maka
(invers) A^-1=}

_Contoh.

_{Jika A =}_{maka
A^-1 =}

₌

₌

_{= = (setiap elemen dikalikan 1/2)}

_{Matriks ordo 3x3, untuk mencari invers matriks ordo 3x3, perlu pemahama matriks-matriks berikut:}