Rabu, 14 Oktober 2015

Cara Menyelasaikan Matriks Invers Ordo 3x3



Cara menyelsaikan matriks invers ordo 3x3

            Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan \neq 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh  :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = \left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end {array}\right]

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

  1. baris kedua : B2 + (-2B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

    baris ketiga : B3 + (-B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& -2& 5 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end {array}\right]

  2. baris ketiga : B3 + 2B2 [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& -1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -5& 2& 1\end {array}\right]

  3. baris ketiga : B3 x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -2& -1\end {array}\right]

  4. baris kedua : B2 + 3B3 [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

    baris pertama : B1 + (-3B3) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -14& 6& 3\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]

  5. baris pertama : B1 + (-2B2) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

    \left [ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A-1 = \left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]

Contoh  :

Periksa apakah matriks A3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = \left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ].

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukanOperasi Baris Elementer

\left [ \left.\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]

  1. baris pertama : B1 x (1/3)

    \left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]

  2. baris kedua : B2 + (-2B1)

    baris ketiga : B3 + 4B1

    \left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 0& 10/3& -7/3\\ 0& 10/3& -7/3\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ -2/3& 1& 0\\ 4/3& 0& 1 \end{matrix} \right ]

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

Sebelum menyelesaikan soal matriks, perlu diketahui bagaimana cari determinan matriks terlebih dahulu. Berikut cara penyelesaiannya.

Rumus:

1. Determinan Matriks ordo 2x2

    A = maka |A| = = ad-bc

2. Determinan Matriks ordo 3x3

    A = maka |A| =

    Maka |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

 INVERS MATRIKS

1. Matriks bujur sangkar berordo (2x2), dapat dirumuskan sebagai berikut:

    Jika A = maka (invers) A-1 =    

    Contoh.

    Jika A = maka A-1 =  

                                                          =  

                                                          =  

                                                          = = (setiap elemen dikalikan 1/2)

Matriks ordo 3x3, untuk mencari invers matriks ordo 3x3, perlu pemahama matriks-matriks berikut:

  1. Matriks Kofaktor

  2. Adjoin

  3. Nilai elemen

  4. rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Keterangan :

  • Matriks Kofaktor adalah matriks yang unsurnya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Untuk tandanya digunakan tanda positif negatif saling bergantian.

  • Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris )

Oke langsung ke contoh soal berikut ini :

Carilah Invers matriks dari A diatas !!


Langkah pertama
 maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:



Langkah kedua,  Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan , maka kita mencari ADJOIN nya = 



Langkah ketiga
 , Mencari nilai determinan A :



Langkah terakhir adalah mencari invers matriks A dengan rumus :

Invers Matriks nxn = 1 / nilai determinan . Matriks Adjoinnya

jadi matriks invers A adalah =


SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS

Sifat-sifat ini digunakan dalam operasi hitung invers matriks:

  1. AA-1 = A-1 A = 1 

  2. (A-1 ) = A

  3. (AB)-1 = B-1 A-1

Tidak ada komentar:

Posting Komentar