SOAL DAN PEMBAHASAN ELIPS

Contoh soal :
Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x² + 9y² +16x – 18y – 11 = 0
Penyelesaian :
4x²+9y²+16x-18y-11=0
4x²+16x+9y²-18y-11=0
4(x²+4x)+9(y²-2y)-11=0
4(x²+4x+4)+9(y²-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36


Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2


Unsur-unsur Elips
Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.



Dari gambar diatas, titik F₁ dan F₂ dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.
2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
–       Pusat elips O(0,0) ;
–       Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
–       Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0) ;
–       Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a
–       Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b

Persamaan Elips
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

1. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0)

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Catatan :

1. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α-c, β) & F₂(α+c, β)
–       Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
–       Panjang sumbu mayor=2a
–       Panjang sumbu minor=2b
–       Persamaan direktriks

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α,β-c) & F₂(α,β+c)
–       Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
–       Panjang sumbu mayor=2a
–       Panjang sumbu minor=2b
–       Persamaan direktriks






 Contoh Soal :

   Diketahui persamaan Elips 4x2 + 9y2 – 48x + 72y +144 = 0. Tentukanlah :

a.     Koordinat pusat

b.     Koordinat puncak

c.     Koordinat focus

Pembahasan :

          4x2 + 9y2 – 48x + 72y +144 = 0

        =                   4 (x2 – 12x) + 9 (y2 + 8y) = -144

        = 4 (x2 – 12x + 36) + 9 (y2 + 8y +16) = -144 + 144 +144

        =                           4 (x - 6)2 + 9 (y + 4)2 = 144

        =                                  (x - 6)2 + (y + 4)2 = 1

                                   36              16

a = 6,   b = 4,   c = √36 – 16 = √20 = 2√5,   p = 6, dan q = -4

a.     Koordinat pusat (p , q) = (6 , -4)

b.     Koordinat puncak :

     (p + a , q) = (12 , -4) ; (p – a ,q) = (0, -4) ;

      (p , q + b) = (6 , 0) ; dan (p , q - b) = (6 , -8)

c.     Koordinat Fokus

F1 (p + c , q) = (6 + 2 √5 , -4)

F2  (p – c , q) = (6 – 2 √5 , -4)

 Luas dari suatu elips dapat ditentukan oleh rumus L = πpq, dengan p dan q secara berturut-turut adalah jarak horizontal dan vertikal titik pusat dengan kurva elips. Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144.

Pembahasan:

 Diketahui suatu persamaan elips 16x² + 9y² = 144, sehingga

 

 Dari perhitungan di atas kita memperoleh p = 3 dan q = 4. Grafik elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

 Sehingga, luas dari elips di atas dapat ditentukan sebagai berikut.

 

Jadi, luas dari elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144 adalah 37,68 satuan luas.

 Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan:

 Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.